☛ Conséquences de la stricte croissance de la fonction ln

Propriété

Soit  $x$ et  $y$ deux réels strictement positifs, alors :

• $\ln (x)=\ln (y)\iff x=y$
  
• $\ln (x)⩾\ln (y)\iff x⩾y$
  
• $\ln (x)>\ln (y)\iff x>y$
  

Énoncé

Étudier les variations de la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)={\text{e}}^{2x}-8x+1$ .

Solution

$f$  est dérivable sur $\mathbb{R}$  et, pour tou t réel  $x$ , on a $f^{\prime }(x)=2{\text{e}}^{2x}-8$ .
$$\begin{gathered} 2{\text{e}}^{2x}-8⩾0\iff {\text{e}}^{2x}⩾4 \\ 2{\text{e}}^{2x}-8⩾0\iff \ln ({\text{e}}^{2x})⩾\ln (4) \\ 2{\text{e}}^{2x}-8⩾0\iff 2x⩾\ln (2^2) \\ 2{\text{e}}^{2x}-8⩾0\iff 2x⩾2\ln (2) \\ 2{\text{e}}^{2x}-8⩾0\iff x⩾\ln (2) \end{gathered}$$
On en déduit le tableau de variations suivant pour $f$ .

Remarque

La valeur du minimum est $f(\ln (2))=5-8\ln (2)$ .